授时历及其证据

元代改历

1276年，元廷命许衡、王恂和郭守敬编制新历。他们与中国南北各地的专才合作，将旧有方法与新观测的日月星辰资料进行比较。历法于1280年冬至完成，1281年颁行使用。

这次改革面对一个持续存在的问题：农历月与季节年并不整齐吻合，历法却必须把二者联系起来。它还需要预报朔、日月食等具体事件。更好的观测提供起始数值，数学程序则从这些数值推算来年的日期。

一项重要改变，是放弃遥远的“上元”：一个假定多种天文周期同时重合的理想古代起点。《授时历》改以1280年冬至为历元，即计算的起点，并记录这一时刻与前一次平朔等其他相关事件之间的间隔。这样就无须从假想的远古起点累算庞大日数，并可将不同周期与近期观测相联系。

计算月份与季节

平均朔望月给出两次朔之间的平均间隔。由于日月的视速度并不均匀，某次朔可能早于或晚于平均序列的推算。《授时历》对这些运动变化加以修正。修正后的朔决定农历月的起始，因此计算的变化可能使月初移到另一天。

这次改革改进了内插法，即利用一组已知数值求取中间值。计算者因此能够取得天体运行到特定阶段时的修正量，而不必只取表中最接近的一项。该体系也考虑岁差，即季节参考点相对于恒星的缓慢移动。

节气仍采用平气方法，从冬至起，将所取的季节年等分为二十四段时间。因此，对太阳不均匀运动的修正，与等时间间隔的节气并存。《授时历》尚未按太阳在周年轨道上计算位置的等角度间隔来划分节气。

在告成测量季节

河南登封附近的告成观星设施，以横梁将正午日影投到向北延伸的长尺度上。横梁距测量面的高度为40尺，约9.75米，是标准八尺表高度的五倍。表借助影子测量太阳高度的变化。提高横梁使影位变化放大，注水槽则为尺度提供水平基准。

大型仪器也会产生淡而模糊的影子。郭守敬的设备以小孔成像装置解决这一问题，投出一个被横梁影子横穿的太阳像，使影位更易辨认。

观测者比较二至前后若干天的测量。在二至附近，正午影长变化很小，难以仅凭看似最长或最短的影子找出准确转折点。在较宽时间范围内反复比较，可以更可靠地估计二至时刻。确定这个季节起点，对推算全年的节气至关重要。

年长与预报的局限

《授时历》采用的季节年为365.2425天，平均朔望月为29.530593天。这些数值描述天文周期。年长不是每一个农历年的长度，月长也不是规定历日可以分成小数：实际的农历月有29或30天，闰月则使月序与季节保持协调。

年长参数控制季节周期，朔望月参数控制朔的平均回归。日期是否准确，还取决于历元和对不均匀运动的修正。年长估计再接近实际，也不能弥补计算中其他部分的误差。

日月食预报还需要更多信息。月亮的轨道相对于太阳的视轨道有倾斜，因此大多数朔时，月亮从太阳以北或以南经过，并不遮住太阳。日食要求朔发生在两条轨道的交点附近。预报某地所见日食的形态和时刻，还取决于观测者的位置。因此，历法的准确性不能简化为那个著名的年长数值。

明代的继承

明代《大统历》保留了《授时历》的大部分数值和计算框架，同时修订某些起始值和规则。一项区别涉及季节年的长度。《授时历》含有长期调整：推算历元以后的年代时，采用的年长逐渐缩短；推算历元以前的年代时则逐渐增长。《大统历》省略了这一调整。尽管如此，元代改革仍通过计算月份、季节和天象的程序，在新王朝下继续影响官方制历。