授時曆及其證據

元代改曆

1276年，元廷命許衡、王恂和郭守敬編制新曆。他們與中國南北各地的專才合作，將舊有方法與新觀測的日月星辰資料進行比較。曆法於1280年冬至完成，1281年頒行使用。

這次改革面對一個持續存在的問題：農曆月與季節年並不整齊吻合，曆法卻必須把二者聯繫起來。它還需要預報朔、日月食等具體事件。更好的觀測提供起始數值，數學程序則從這些數值推算來年的日期。

一項重要改變，是放棄遙遠的“上元”：一個假定多種天文週期同時重合的理想古代起點。《授時曆》改以1280年冬至為曆元，即計算的起點，並記錄這一時刻與前一次平朔等其他相關事件之間的間隔。這樣就無須從假想的遠古起點累算龐大日數，並可將不同週期與近期觀測相聯繫。

計算月份與季節

平均朔望月給出兩次朔之間的平均間隔。由於日月的視速度並不均勻，某次朔可能早於或晚於平均序列的推算。《授時曆》對這些運動變化加以修正。修正後的朔決定農曆月的起始，因此計算的變化可能使月初移到另一天。

這次改革改進了內插法，即利用一組已知數值求取中間值。計算者因此能夠取得天體運行到特定階段時的修正量，而不必只取表中最接近的一項。該體系也考慮歲差，即季節參考點相對於恆星的緩慢移動。

節氣仍採用平氣方法，從冬至起，將所取的季節年等分為二十四段時間。因此，對太陽不均勻運動的修正，與等時間間隔的節氣並存。《授時曆》尚未按太陽在週年軌道上計算位置的等角度間隔來劃分節氣。

在告成測量季節

河南登封附近的告成觀星設施，以橫梁將正午日影投到向北延伸的長尺度上。橫梁距測量面的高度為40尺，約9.75米，是標準八尺表高度的五倍。表藉助影子測量太陽高度的變化。提高橫梁使影位變化放大，注水槽則為尺度提供水平基準。

大型儀器也會產生淡而模糊的影子。郭守敬的設備以小孔成像裝置解決這一問題，投出一個被橫梁影子橫穿的太陽像，使影位更易辨認。

觀測者比較二至前後若干天的測量。在二至附近，正午影長變化很小，難以僅憑看似最長或最短的影子找出準確轉折點。在較寬時間範圍內反覆比較，可以更可靠地估計二至時刻。確定這個季節起點，對推算全年的節氣至關重要。

年長與預報的侷限

《授時曆》採用的季節年為365.2425天，平均朔望月為29.530593天。這些數值描述天文週期。年長不是每一個農曆年的長度，月長也不是規定曆日可以分成小數：實際的農曆月有29或30天，閏月則使月序與季節保持協調。

年長參數控制季節週期，朔望月參數控制朔的平均迴歸。日期是否準確，還取決於曆元和對不均勻運動的修正。年長估計再接近實際，也不能彌補計算中其他部分的誤差。

日月食預報還需要更多信息。月亮的軌道相對於太陽的視軌道有傾斜，因此大多數朔時，月亮從太陽以北或以南經過，並不遮住太陽。日食要求朔發生在兩條軌道的交點附近。預報某地所見日食的形態和時刻，還取決於觀測者的位置。因此，曆法的準確性不能簡化為那個著名的年長數值。

明代的繼承

明代《大統曆》保留了《授時曆》的大部分數值和計算框架，同時修訂某些起始值和規則。一項區別涉及季節年的長度。《授時曆》含有長期調整：推算曆元以後的年代時，採用的年長逐漸縮短；推算曆元以前的年代時則逐漸增長。《大統曆》省略了這一調整。儘管如此，元代改革仍通過計算月份、季節和天象的程序，在新王朝下繼續影響官方制曆。